Duration e convexidade em conceito: medir o risco de taxa de juro de uma obrigação
Como a duration de Macaulay e a duration modificada medem a sensibilidade de uma obrigação às taxas de juro, com exemplo numérico e noção de convexidade.
Sabe que o preço de uma obrigação desce quando as taxas sobem. Mas quanto? A duration responde, resumindo num só número o prazo médio de recebimento dos fluxos. Este artigo explica o conceito e resolve um exemplo com valores fictícios.
O que é a duration de Macaulay
É a média ponderada dos prazos em que se recebem os fluxos, onde cada peso é o valor actual de cada fluxo dividido pelo preço da obrigação. Mede-se em anos. Uma obrigação sem cupões (zero cupão) tem duration igual à maturidade; uma obrigação com cupões tem duration inferior à maturidade, porque parte do dinheiro regressa mais cedo.
Exemplo resolvido
Obrigação de nominal 1 000, cupão anual de 6%, maturidade de 3 anos, yield de 6% (preço = 1 000). Valores fictícios.
| Ano (t) | Fluxo | Valor actual a 6% | Peso (VA/preço) | t × peso |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 60 | 56,60 | 0,0566 | 0,0566 |
| 2 | 60 | 53,40 | 0,0534 | 0,1068 |
| 3 | 1 060 | 890,00 | 0,8900 | 2,6700 |
| Total | 1 000,00 | 1,0000 | 2,8334 |
Duration de Macaulay ≈ 2,83 anos, inferior aos 3 anos de maturidade.
Duration modificada: do prazo para a sensibilidade
A duration modificada = Macaulay / (1 + y) = 2,83 / 1,06 = 2,67. Interpretação: por cada 1 ponto percentual de aumento da yield, o preço cai aproximadamente 2,67%. A fórmula aproximada é ΔP/P ≈ − D_mod × Δy.
No exemplo, se a yield subir de 6% para 7%, a queda estimada é 2,67% × 1 = 2,67%, ou seja, de 1 000 para cerca de 973,3. O preço exacto a 7% é 60/1,07 + 60/1,1449 + 1 060/1,2250 = 56,07 + 52,40 + 865,27 ≈ 973,7. A aproximação é boa para variações pequenas.
Convexidade: a correcção de segunda ordem
A relação preço-yield não é uma recta, é uma curva. A duration é a recta tangente; a convexidade mede a curvatura. Por ser positiva nas obrigações simples, o preço sobe mais quando a yield desce do que desce quando sobe pelo mesmo valor. A duration subestima o preço em ambos os casos, e o erro cresce com variações grandes. No exemplo, a duration previa 973,3 e o preço real foi 973,7: a diferença é o efeito da convexidade.
O que faz variar a duration
| Factor | Efeito na duration |
|---|---|
| Maturidade mais longa | Aumenta |
| Cupão mais alto | Diminui (fluxos chegam mais cedo) |
| Yield mais alta | Diminui |
| Obrigação zero cupão | Igual à maturidade |
Para que serve
- Comparar risco entre obrigações de maturidades e cupões diferentes.
- Imunização: bancos e fundos de pensões procuram igualar a duration dos activos e a das responsabilidades, para que variações de taxa afectem ambos de forma semelhante.
- Gestão de fundos de obrigações: aumentar a duration é apostar na queda de taxas; reduzi-la, proteger de subidas.
- Avaliação do risco de uma carteira: a duration da carteira é a média ponderada das durations.
Limites do modelo
- Assume deslocamentos paralelos da curva de rendimentos, o que raramente acontece.
- Não capta o risco de crédito nem o de liquidez.
- Obrigações com opções embutidas (resgate antecipado) exigem a duration efectiva.
- É uma aproximação: para variações grandes, usa-se também a convexidade.
Exercício para praticar
Calcule a duration de Macaulay de uma obrigação de nominal 100, cupão anual de 5%, maturidade de 2 anos e yield de 5% (preço = 100). Fluxos: 5 no ano 1 e 105 no ano 2. Valores actuais: 5/1,05 = 4,76 e 105/1,1025 = 95,24. Pesos: 0,0476 e 0,9524. Duration = 1 × 0,0476 + 2 × 0,9524 = 1,95 anos. Duration modificada = 1,95 / 1,05 = 1,86. Uma subida de yield de 1 ponto percentual reduz o preço em cerca de 1,86%, ou seja, para aproximadamente 98,1. Repare que, sendo a maturidade de 2 anos, a duration é de 1,95: o cupão antecipa uma pequena parte do dinheiro.
Ligação ao resto do curso
Duration é a continuação natural do estudo do preço e da yield das obrigações; para rever, veja obrigações: preço e yield e o valor do dinheiro no tempo. Em bancos, a gestão de duration está ligada ao risco de taxa de juro da carteira bancária, tema da supervisão prudencial.
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Perguntas frequentes
Duration é o mesmo que maturidade?
Não. A maturidade é a data do último pagamento; a duration é o prazo médio ponderado dos fluxos, quase sempre inferior.
Duration alta é mau?
Significa maior sensibilidade às taxas: é um risco se as taxas subirem e uma vantagem se descerem.
Para que serve a convexidade?
Para corrigir a estimativa da duration em variações maiores de taxa, mostrando que a relação preço-yield é curva.