Margem de erro e intervalos de confiança: como calcular passo a passo
Como calcular e interpretar um intervalo de confiança para uma média e para uma proporção, com margem de erro e tamanho de amostra resolvidos.
Uma sondagem diz que 55% dos clientes estão satisfeitos, com margem de erro de 5%. O que quer isso dizer, e como se chegou a esse número? O intervalo de confiança quantifica a incerteza de estimar uma característica da população a partir de uma amostra.
A ideia por trás do intervalo
Não conseguimos medir toda a população, por isso medimos uma amostra e obtemos uma estimativa pontual (a média ou a proporção amostral). Outra amostra daria outro valor. O intervalo de confiança junta à estimativa uma margem que traduz essa variação aleatória: estimativa ± margem de erro.
O nível de confiança (90%, 95%, 99%) indica a fiabilidade do método: se repetíssemos a amostragem muitas vezes, cerca de 95% dos intervalos construídos assim conteriam o valor verdadeiro. Para uma conceptualização mais ampla com testes, veja o artigo sobre estatística inferencial.
Intervalo para uma média
Fórmula: x̄ ± z × s ÷ √n, com z = 1,96 para 95% (amostras grandes). A quantidade s ÷ √n é o erro-padrão.
Exemplo: numa amostra de 64 clientes, o talão médio é 12 500 Kz, com desvio-padrão 2 000. Erro-padrão = 2 000 ÷ 8 = 250. Margem = 1,96 × 250 = 490. Intervalo a 95%: 12 010 a 12 990 Kz. Valores ilustrativos.
Para amostras pequenas (regra prática: n abaixo de 30) e desvio-padrão desconhecido, substitui-se 1,96 pelo valor da distribuição t de Student com n − 1 graus de liberdade, que é maior e torna o intervalo mais largo.
Intervalo para uma proporção
Fórmula: p ± z × √(p(1 − p) ÷ n). Exemplo: de 400 inquiridos, 220 estão satisfeitos, p = 0,55.
Erro-padrão = √(0,55 × 0,45 ÷ 400) = 0,0249. Margem a 95% = 1,96 × 0,0249 = 0,0488, ou seja 4,9 pontos percentuais. Intervalo: 50,1% a 59,9%.
Repare na leitura honesta: a satisfação verdadeira na população pode ser pouco acima de metade ou quase 60%. Dizer "a maioria está satisfeita" é defensável, mas dizer "quase 60%" já não é.
Qual deve ser o tamanho da amostra?
Resolva a margem de erro para n. Para uma proporção: n = z² × p(1 − p) ÷ E². Sem informação prévia usa-se p = 0,5, o pior caso (máxima variância).
Para uma margem de 3 p.p. a 95%: n = 1,96² × 0,25 ÷ 0,03² = 1 067,1, logo 1 068 inquiridos. Para 5 p.p.: 384,2, ou seja 385. A margem diminui com √n: para metade da margem são precisos quatro vezes mais inquiridos.
Efeito do nível de confiança e do tamanho da amostra
| Alteração | Efeito na margem de erro |
|---|---|
| Subir a confiança de 95% para 99% | Aumenta (z passa de 1,96 para 2,576) |
| Quadruplicar a amostra | Reduz a metade |
| Maior variabilidade dos dados | Aumenta |
| Proporção próxima de 50% | Margem máxima |
Interpretações erradas muito comuns
- Errado: "há 95% de probabilidade de a média verdadeira estar neste intervalo". A média verdadeira é fixa; é o procedimento que tem 95% de fiabilidade.
- Errado: "95% dos clientes gastam entre 12 010 e 12 990". O intervalo é sobre a média, não sobre os indivíduos.
- Ignorar o enviesamento: a margem de erro só cobre o erro de amostragem aleatória, não amostras mal escolhidas nem perguntas tendenciosas (veja inquéritos e amostragem).
- Aplicar o intervalo a amostras não aleatórias (voluntários online): os cálculos pressupõem aleatoriedade.
Como fazer na folha de cálculo
Calcule a média (AVERAGE), o desvio-padrão amostral (STDEV.S) e o n (COUNT). A margem é =CONFIDENCE.NORM(0,05; desvio; n) para uma normal, ou CONFIDENCE.T para a distribuição t (os nomes em português variam por versão). O intervalo é a média menos e mais a margem.
Exercício com amostra pequena
Numa amostra de 16 facturas de um fornecedor, o prazo médio de pagamento foi 42 dias, com desvio-padrão de 8 dias. Calcule o intervalo a 95%.
- Erro-padrão: 8 ÷ √16 = 2 dias.
- Valor t para 15 graus de liberdade a 95%: 2,131 (em vez de 1,96).
- Margem: 2,131 × 2 = 4,26 dias.
- Intervalo: 37,7 a 46,3 dias.
Com o valor 1,96 o intervalo seria ligeiramente mais estreito (38,1 a 45,9), transmitindo uma confiança que a amostra pequena não justifica. É esta a razão de ser da distribuição t.
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Perguntas frequentes
O que quer dizer 95% de confiança?
Que o método usado produz intervalos que contêm o valor verdadeiro em 95% das repetições. Não significa que haja 95% de probabilidade para este intervalo concreto.
Porque é que preciso de mais inquiridos para reduzir a margem?
Porque a margem diminui com a raiz quadrada de n. Para reduzir a margem a metade é preciso quadruplicar a amostra.
Usar 1,96 é sempre correcto?
Só com amostras grandes ou quando o desvio-padrão populacional é conhecido. Com amostras pequenas use a distribuição t.