Regressão linear simples à mão: mínimos quadrados e previsão de vendas

Os programas calculam a regressão em segundos, mas quem a faz uma vez à mão percebe o que o resultado significa. O método dos mínimos quadrados escolhe a recta que torna mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais entre os pontos e a recta.

O modelo e as fórmulas

O modelo é y = a + b·x, onde x é a variável explicativa, y a variável explicada, b o declive e a a ordenada na origem. Com médias x̄ e ȳ:

b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² e a = ȳ − b·x̄. O declive diz quanto varia y, em média, por cada unidade a mais de x.

Os dados do exemplo

Uma loja registou, em cinco meses, o gasto em publicidade (x, em milhares de Kz) e as vendas (y, em centenas de milhares de Kz). Dados ilustrativos.

Calcular declive e ordenada

b = 37 ÷ 10 = 3,7. a = 19 − 3,7 × 3 = 7,9. A recta é ŷ = 7,9 + 3,7x.

Leitura: cada mil kwanzas adicionais de publicidade estão associados, neste conjunto de dados, a mais 3,7 centenas de milhares de vendas. A ordenada 7,9 seria o nível de vendas previsto sem publicidade, mas só faz sentido se x = 0 estiver perto dos dados observados.

Valores ajustados e resíduos

A soma dos resíduos é zero (propriedade dos mínimos quadrados). Resíduos pequenos e sem padrão indicam bom ajustamento. Se os resíduos forem sistematicamente positivos num extremo e negativos no outro, a relação provavelmente não é linear.

Qualidade do ajustamento: r e r²

Soma dos quadrados totais Σ(y − ȳ)² = 49 + 16 + 0 + 9 + 64 = 138. O coeficiente de correlação é r = 37 ÷ √(10 × 138) = 0,996 e o coeficiente de determinação r² = 0,992: 99,2% da variação das vendas, nesta amostra, é acompanhada linearmente pela publicidade.

Dados reais raramente são tão arrumados. Um r² de 0,4 pode ser útil em ciências sociais; um r² de 0,99 em gestão deve levantar a suspeita de série com tendência comum (veja correlação e causalidade).

Fazer uma previsão, e os seus limites

Para uma publicidade de 6: ŷ = 7,9 + 3,7 × 6 = 30,1. Como 6 está ligeiramente fora do intervalo observado (1 a 5), é uma extrapolação; quanto mais longe, menos fiável. Para x = 20, a recta prevê 81,9, o que ignora saturação do mercado, capacidade limitada e retornos decrescentes.

Prever dentro do intervalo observado (interpolação) é muito mais seguro do que extrapolar.

Conferir no Excel ou Sheets

• Declive: SLOPE(y; x). Ordenada: INTERCEPT(y; x). r²: RSQ(y; x). Previsão: FORECAST.LINEAR(x_novo; y; x) (os nomes em português variam por versão).
• Alternativa visual: gráfico de dispersão com linha de tendência linear, equação e r² no gráfico.
• Para mais detalhe, veja regressão linear simples com leitura em Excel.

Erros frequentes

• Trocar x e y: a regressão de y sobre x não é a mesma que a de x sobre y.
• Interpretar o declive como efeito causal sem fundamento.
• Esquecer unidades: o declive tem as unidades de y por unidade de x.
• Ajustar uma recta a dados claramente curvos.
• Deixar um valor anómalo dominar a recta; teste com e sem ele.

Exercício para praticar

Um estudante recolheu, para quatro lojas, a área (x, em dezenas de m²) e as vendas mensais (y, em milhões de Kz): (2; 5), (4; 9), (6; 10), (8; 16). Calcule a recta.

1. Médias: x̄ = 5; ȳ = 10.
2. Produtos cruzados: (−3)(−5) + (−1)(−1) + (1)(0) + (3)(6) = 15 + 1 + 0 + 18 = 34.
3. Soma de quadrados de x: 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
4. Declive b = 34 ÷ 20 = 1,7; ordenada a = 10 − 1,7 × 5 = 1,5.
5. Previsão para 5 dezenas de m² (50 m²): 1,5 + 1,7 × 5 = 10,0 milhões.

Verifique a plausibilidade: o ponto (x̄; ȳ) = (5; 10) tem de estar sempre sobre a recta, e está. Faça esta prova em todos os exercícios.

Conteúdo educativo, de carácter geral. Regras contabilísticas e fiscais variam de país para país e mudam com o tempo: confirme sempre na norma ou na lei em vigor.

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