Regressão linear simples explicada com exemplo resolvido e leitura em Excel
Regressão linear simples em conceito: declive, constante, R-quadrado e previsão, com exemplo numérico resolvido e como ler os resultados.
A regressão linear é a ferramenta mais usada para estudar a relação entre duas variáveis: como variam as vendas quando aumenta a publicidade, ou o consumo quando sobe o rendimento. Compreender o conceito, e saber ler os resultados, é mais importante do que decorar fórmulas, já que o computador faz as contas.
A ideia: uma recta que resume a nuvem de pontos
Dispomos de pares (x, y): por exemplo, x é o investimento em publicidade e y as vendas. A regressão linear simples ajusta a recta y = a + b·x que melhor se aproxima dos pontos, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre valores observados e valores previstos (método dos mínimos quadrados). O declive b diz quanto varia y, em média, por cada unidade adicional de x; a constante a é o valor previsto de y quando x é zero.
Exemplo resolvido
Cinco meses de dados (valores ilustrativos): publicidade x, em milhares: 1, 2, 3, 4, 5. Vendas y, em milhares: 3, 5, 6, 8, 9.
- Médias: x médio = 3; y médio = 31/5 = 6,2.
- Desvios de x: -2, -1, 0, 1, 2. Desvios de y: -3,2; -1,2; -0,2; 1,8; 2,8.
- Soma dos produtos dos desvios = 6,4 + 1,2 + 0 + 1,8 + 5,6 = 15. Soma dos quadrados dos desvios de x = 10.
- Declive b = 15/10 = 1,5.
- Constante a = 6,2 - 1,5 × 3 = 1,7.
A recta é y = 1,7 + 1,5x: por cada mil adicional em publicidade, as vendas aumentam em média 1,5 mil. Para x = 6 (fora do intervalo observado), a previsão seria 10,7, mas prever fora da amostra é arriscado.
R-quadrado: quanto da variação é explicada
Os valores previstos são 3,2; 4,7; 6,2; 7,7; 9,2, logo os resíduos (observado menos previsto) são -0,2; 0,3; -0,2; 0,3; -0,2, e a soma dos seus quadrados é 0,30. A variação total de y (soma dos quadrados dos desvios em relação a 6,2) é 22,8. Então R² = 1 - 0,30/22,8, cerca de 0,987: o modelo explica cerca de 98,7% da variação das vendas neste exemplo. Em dados reais de economia, valores tão altos são raros e devem suscitar desconfiança.
Como fazer no Excel
- Calcule o declive com a função de declive (INCLINAÇÃO) e a constante com INTERCEPÇÃO, indicando o intervalo de y e depois o de x.
- Calcule R² com RQUAD.
- Para um relatório completo (erros-padrão, valores-p, intervalos), active as Ferramentas de Análise e use a opção Regressão, ou use a função PROJ.LIN. Os nomes das funções podem variar com a versão e o idioma do Excel.
- Um gráfico de dispersão com linha de tendência e R² visível ajuda a verificar o ajustamento.
Pressupostos que convém verificar
- Linearidade: a relação aproxima-se de uma recta.
- Independência dos erros: especialmente importante em séries temporais.
- Variância constante dos erros (homocedasticidade).
- Normalidade aproximada dos resíduos, relevante para testes e intervalos em amostras pequenas.
- Ausência de valores atípicos que dominem o resultado.
Um gráfico dos resíduos contra os valores previstos é o primeiro diagnóstico: não deve mostrar padrões nítidos.
Correlação: a medida que acompanha a regressão
O coeficiente de correlação (r) varia entre -1 e +1: perto de +1 indica relação linear positiva forte, perto de -1 negativa forte, perto de 0 ausência de relação linear. No exemplo, r é a raiz quadrada de R², ou seja, cerca de 0,99. Atenção: r mede apenas relações lineares; duas variáveis podem ter uma relação clara em forma de curva e r próximo de zero. Por isso, desenhe sempre o gráfico de dispersão antes de calcular qualquer coeficiente.
Em séries temporais, duas variáveis que crescem ao longo do tempo (por exemplo, preço de um bem e número de utilizadores de telemóvel) mostram correlação elevada sem qualquer ligação causal. É a chamada correlação espúria.
Previsão e intervalos: o que a recta não diz
A previsão da recta é uma estimativa média. A incerteza tem duas fontes: a incerteza dos coeficientes e a variabilidade natural de cada observação em torno da recta. Por isso, um intervalo de previsão para uma observação individual é mais largo do que o intervalo para a média, e alarga-se à medida que x se afasta da média de x. Esta é outra razão para desconfiar de extrapolações. Em trabalhos académicos, reporte sempre os coeficientes com os erros-padrão ou valores-p, o R², o número de observações e o período dos dados.
Interpretação sem exageros
- Correlação não é causalidade: a regressão mostra associação; causalidade exige desenho de estudo e argumentos adicionais.
- Um declive estatisticamente significativo pode ser pequeno em termos práticos.
- Variáveis omitidas podem explicar a relação (por exemplo, sazonalidade que afecta publicidade e vendas ao mesmo tempo).
- Com mais de um regressor passa-se à regressão múltipla; o raciocínio é o mesmo, mas cada declive lê-se mantendo as outras variáveis constantes.
Aplicações em economia e finanças
- Função consumo: consumo em função do rendimento disponível.
- Relação entre custos e volume de produção, para estimar custos fixos e variáveis.
- Estimar o beta de uma acção, regredindo as suas rendibilidades sobre as do mercado.
- Prever tesouraria a partir de vendas.
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Perguntas frequentes
Qual a diferença entre correlação e regressão?
A correlação mede a força e o sentido da associação entre duas variáveis; a regressão estima a equação que permite prever uma em função da outra.
R² elevado significa bom modelo?
Não necessariamente. Pode haver sobreajuste, relações espúrias ou violação de pressupostos. Avalie também os resíduos e a lógica económica.
Quantas observações preciso?
Quanto mais, melhor; com muito poucos pontos, os resultados são instáveis. Como regra prática, evite regressões com menos de 20 a 30 observações, salvo para fins ilustrativos.