Equilíbrio de Nash num duopólio de preços: exercício de teoria dos jogos
Resolva um jogo de preços entre duas empresas com matriz de pagamentos, estratégia dominante, equilíbrio de Nash e o dilema do prisioneiro.
Num duopólio, cada empresa sabe que o seu lucro depende também do preço do rival. A teoria dos jogos organiza esse raciocínio numa matriz de pagamentos. O exercício abaixo é a versão económica do dilema do prisioneiro, com valores ilustrativos.
O cenário
Duas operadoras de telecomunicações, A e B, escolhem em simultâneo entre manter o preço alto ou fazer uma promoção (preço baixo). Os pagamentos são os lucros mensais, em milhões, no formato (lucro de A, lucro de B).
| A \ B | B: preço alto | B: preço baixo |
|---|---|---|
| A: preço alto | (10 ; 10) | (4 ; 14) |
| A: preço baixo | (14 ; 4) | (6 ; 6) |
Passo 1: procurar a estratégia dominante
Pergunte a A: se B escolher preço alto, o que é melhor? Preço baixo dá 14, preço alto dá 10: baixo. Se B escolher preço baixo? Preço baixo dá 6, preço alto dá 4: baixo. Em ambos os casos, preço baixo é a estratégia dominante de A. O jogo é simétrico, por isso também é a de B.
Passo 2: equilíbrio de Nash
Um equilíbrio de Nash é um par de estratégias em que nenhum jogador quer mudar unilateralmente. Em (baixo, baixo), A obtém 6; se passasse a alto, obteria 4. B está na mesma situação. Logo o equilíbrio é (baixo, baixo), com pagamentos (6 ; 6). Teste os outros três quadrantes: em (alto, alto) qualquer um ganha ao desviar-se (de 10 para 14); em (alto, baixo) quem pratica o alto passa a ganhar mais baixando. Nenhum é equilíbrio.
O dilema
O resultado (6 ; 6) é pior para ambos do que (10 ; 10). Cada um, ao agir racionalmente, empurra os dois para um resultado inferior. É a estrutura do dilema do prisioneiro. Para a história clássica e outros exemplos, veja teoria dos jogos: dilema do prisioneiro.
Será que a cooperação é possível?
Depende de a interacção ser repetida. Suponha que as empresas jogam todos os meses e adoptam uma estratégia de “retaliação”: mantêm o preço alto enquanto o rival o fizer; se o rival baixar, ambas passam para preço baixo para sempre. Desviar rende 14 num mês e depois 6 em todos os seguintes; cooperar rende 10 por mês. Com taxa de desconto pequena (futuro valorizado), cooperar compensa. O ponto é qualitativo: quanto mais paciente e mais frequente a interacção, mais estável o conluio tácito.
Por isso as autoridades da concorrência vigiam cartéis e coordenação de preços, mesmo sem contrato escrito. Os critérios legais variam por país e mudam com o tempo.
Variante: dois equilíbrios (jogo de coordenação)
Em alguns jogos há mais de um equilíbrio. Exemplo: duas empresas devem escolher o mesmo padrão tecnológico (X ou Y). Pagamentos: (X,X) = (5 ; 5); (Y,Y) = (3 ; 3); desencontro = (0 ; 0). Há dois equilíbrios de Nash, (X,X) e (Y,Y). Nenhum jogador quer mudar quando o outro já está no mesmo padrão. Qual surge depende de expectativas, histórico e de um possível acordo prévio.
Método em quatro passos
- Desenhe a matriz e identifique os jogadores e as estratégias.
- Para cada jogador, sublinhe a melhor resposta a cada estratégia do rival.
- O equilíbrio de Nash é a célula em que os dois pagamentos estão sublinhados.
- Compare com o resultado cooperativo para ver se há dilema.
Exercício para treinar
Duas lojas, X e Y, decidem entre abrir ao domingo (A) ou não (N). Pagamentos (X ; Y): (A,A) = (5 ; 5); (A,N) = (9 ; 2); (N,A) = (2 ; 9); (N,N) = (7 ; 7). Se Y escolher A, X obtém 5 em A e 2 em N: escolhe A. Se Y escolher N, X obtém 9 em A e 7 em N: escolhe A. Logo A é dominante para X e, por simetria, para Y. O equilíbrio é (A,A) com (5 ; 5), embora (N,N) desse 7 a cada um. A solução cooperativa só se sustenta com compromisso, regulação (por exemplo, horários comerciais obrigatórios) ou repetição do jogo com ameaça credível.
Erros comuns
- Confundir o óptimo social com o equilíbrio: o equilíbrio pode ser mau para todos.
- Procurar só a melhor resposta de um jogador.
- Ignorar que os jogos repetidos mudam o resultado.
- Esquecer que os pagamentos são lucros esperados, estimados com incerteza.
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Perguntas frequentes
Todo o jogo tem equilíbrio de Nash?
Em estratégias puras nem sempre; em estratégias mistas, com probabilidades, existe sempre em jogos finitos.
Equilíbrio de Nash é o melhor resultado?
Não. É o resultado estável; pode ser ineficiente, como no dilema do prisioneiro.
A teoria dos jogos aplica-se fora dos mercados?
Sim: negociações, leilões, acordos ambientais, política e organização de empresas.