Teoria dos jogos para estudantes: dilema do prisioneiro e exemplos

A teoria dos jogos estuda decisões em que o resultado de cada um depende também do que os outros decidem. Em economia, aplica-se a preços, leilões, negociações salariais e acordos internacionais. Perceber três ou quatro conceitos permite resolver a maior parte dos exercícios de manual.

Os elementos de um jogo

Qualquer jogo tem jogadores (pessoas, empresas, países), estratégias (as acções possíveis de cada um) e pagamentos (o resultado de cada combinação de estratégias, medido em lucro, utilidade ou anos de pena). Supõe-se que cada jogador é racional e quer maximizar o seu pagamento, sabendo que os outros também o querem.

Um jogo pode ser simultâneo (todos escolhem sem saber o que os outros escolhem) ou sequencial (um joga primeiro e o outro observa). Pode ser jogado uma só vez ou repetido. Cada variante muda a solução.

Estratégia dominante e equilíbrio de Nash

Uma estratégia dominante é a que dá o melhor pagamento seja o que for que o outro faça. Se existir, um jogador racional usa-a.

O equilíbrio de Nash é uma combinação de estratégias em que nenhum jogador tem interesse em mudar sozinho, dado o que os outros fazem. Para o encontrar numa matriz, procura-se, para cada jogador, a melhor resposta a cada escolha do adversário; onde as melhores respostas coincidem está o equilíbrio. Pode haver zero, um ou vários equilíbrios.

O dilema do prisioneiro

Dois suspeitos são interrogados em separado. Se ambos negarem, cada um apanha 1 ano. Se um confessar e o outro negar, o que confessa sai livre e o outro apanha 10 anos. Se ambos confessarem, apanham 5 anos cada. Pagamentos ilustrativos, em anos de prisão.

Raciocínio de cada um: se o outro negar, confessar dá 0 anos contra 1; se o outro confessar, confessar dá 5 contra 10. Confessar é estratégia dominante. O equilíbrio de Nash é então (confessar, confessar), com 5 anos cada, embora (negar, negar) deixasse ambos melhor, com 1 ano. Este é o ponto central: o equilíbrio racional pode ser colectivamente pior do que a cooperação, porque cada um tem incentivo a trair.

Aplicação: duas empresas e a guerra de preços

Duas empresas de telecomunicações podem manter preço alto ou baixar o preço. Se ambas mantêm, lucram 10 cada. Se uma baixa e a outra mantém, a que baixou fica com 14 e a outra com 4. Se ambas baixam, lucram 6 cada. Valores ilustrativos.

A estrutura é a do dilema do prisioneiro: baixar é dominante, e ambas acabam com 6 em vez de 10. É por isso que os cartéis, que são acordos para manter preços altos, são instáveis: cada membro é tentado a trair. Também explica porque as autoridades de concorrência combatem o conluio; veja as estruturas de mercado.

Jogos repetidos e cooperação

Se o jogo se repete indefinidamente, a cooperação pode sustentar-se. Uma estratégia simples é a do «olho por olho»: começa-se a cooperar e depois copia-se o que o outro fez na ronda anterior. Trair compensa uma vez, mas é punido nas rondas seguintes. A cooperação é mais provável quando o futuro pesa (os jogadores são pacientes), as traições são detectáveis e as relações são duradouras.

É a razão pela qual relações comerciais de longo prazo assentam em reputação, e pela qual contratos escritos e instituições ajudam a transformar jogos de uma só jogada em jogos repetidos.

Outros jogos clássicos

• Tragédia dos bens comuns: um pasto, um rio ou uma zona de pesca partilhados são sobreexplorados porque cada um ganha com usar mais e o custo recai em todos.
• Jogo de coordenação: dois amigos querem ir ao mesmo evento, mas não sabem qual; há dois equilíbrios e o problema é escolher um.
• Jogo sequencial e ameaças: uma empresa já instalada ameaça baixar preços se entrar um concorrente; a ameaça só é credível se for racional cumpri-la.
• Leilões: a estratégia óptima depende das regras (preço fechado, ascendente) e do que se sabe sobre o valor do objecto.

Como resolver um exercício em 4 passos

1. Identifique os jogadores, as estratégias e escreva a matriz de pagamentos.
2. Para cada jogador, sublinhe o melhor pagamento em resposta a cada estratégia do outro.
3. O equilíbrio de Nash é a célula onde todos os pagamentos estão sublinhados.
4. Compare-o com o óptimo conjunto e explique porque diferem, se diferirem.

Erros frequentes: ler a matriz do jogador errado (a primeira cifra costuma ser a do jogador da linha), supor que o equilíbrio é sempre o melhor resultado, ou esquecer que um jogo repetido pode ter soluções diferentes das do jogo de uma só jogada.

Exemplo de negociação: a decisão de uma greve

Um sindicato e uma empresa negociam salários. Cada um pode «ceder» ou «endurecer». Se ambos cedem, chega-se a um acordo razoável (pagamento 5 para cada). Se um endurece e o outro cede, o que endurece ganha mais (8 contra 2). Se ambos endurecem, há greve e perdas para ambos (1 para cada). Pagamentos ilustrativos. Aqui não há estratégia dominante: se o outro endurece, convém ceder; se o outro cede, convém endurecer. Há dois equilíbrios de Nash (um endurece, o outro cede) e o problema é qual deles prevalece; a reputação, os prazos e a capacidade de se comprometer publicamente têm peso decisivo. Este tipo de jogo chama-se «jogo do frango» e descreve também disputas entre países.

Limites da teoria

A teoria assume racionalidade e conhecimento das regras; na prática, as pessoas cooperam mais do que o modelo prevê, e erram, como explica a economia comportamental. Mesmo assim, a teoria dos jogos é a melhor linguagem para raciocinar sobre incentivos, e é usada no desenho de leilões, de regras de concorrência e de acordos internacionais.

Conteúdo educativo, de carácter geral. Regras contabilísticas e fiscais variam de país para país e mudam com o tempo: confirme sempre na norma ou na lei em vigor.

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